由于 [数学趣题] 小球概率 ，发现好多人对条件概率仍不理解，容易出现误解，因此在这里简单介绍一下条件概率。
一·什么是概率
这个问题其实没有看起来这么简单。一般来说，认为概率是描述某个事件发生的可能性的属性。如果一个实验可以无限重复，我们取某事件发生的次数除以实验的总次数的值称为频率，那么实验次数越多则频率越接近概率（感兴趣的可以了解一下大数定律）。但是这种求概率的前提是，概率是一个确定的值，实验是由概率决定结果，我们事先不知道概率大概是多少，然后根据实验不断去用频率收敛。但是如果实验次数不够多，那么很有可能得到很离谱的结论。比如一个硬币，我们连续扔五次都是正面朝上，那么频率派就会认为硬币正面朝上的概率是1。
而贝叶斯派反过来认为，实验的结果是确定的常量，而概率是一个随机变量，概率表示事件的可信程度，是建立在对事件认知的已有基础上的。比如一个硬币，贝叶斯派一开始认为硬币正面朝上的概率是0.5（也可以是其他值），那么连续五次扔出正面朝上后，这个概率则可以用贝叶斯公式修正到一个0.5~1之间的数。
可以用乌鸦悖论来区分，考虑命题所有的乌鸦都是黑色的，那么它的逆否命题是所有不是黑色的东西都不是乌鸦，逆否命题显然与原命题等价。如果我们看了成千上万个乌鸦，都是黑色的，根据频率派的观点，原命题显然是正确的。而贝叶斯派的先验概率也会再不断地后验修正中得到一个较高的分布。那么如果我们看到了一个红色的苹果，是否可以认为原命题的可信度上升。根据频率派的观点，原命题正确的概率是一个定值，因此不会受到红色苹果的影响，而贝叶斯派的看法则会认为原命题可信度上升，这个你可以在后面讲到贝叶斯公式后尝试看看。
二·条件概率
事件A和事件B各自有一个发生的概率，那么在事件A发生的条件下事件B发生的概率则称为条件概率，记为P(B|A)。
举个例子，将一枚硬币抛掷两次，事件A为至少有一次正面朝上，事件B为两次正面朝上，那么P(B|A)为多少。
我们先考虑扔两次的样本空间，正面朝上记为1，反面朝上记为0，则样本空间为{11,10,01,00}，这是一个古典概型（即等概率发生，很重要，很多错误就是因为盲目确定古典概型），而A为{11,10,01},B为{11}，那么P(B|A)可以确定为P(AB)/P(A)=1/3（其中AB是A，B同时发生的概率，这里即为11），这里容易有一个误区把P(B|A)当成P(B)/P(A)。
因此我们可以得到P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(AB)=P(B|A)P(A)
如果我们能得到样本空间的一个划分B1,B2,...,Bi，划分即两两不重合且全部并集为整个样本空间，如上面的{11,10,01,00}，其中，11,10,01,00就是样本空间的一个划分。那么如果P(A）不容易求得，我们可以发现P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABi)=P(A|B1)P(B1)+...+P(A|Bi)P(Bi)
那么我们就可以得到一个求条件概率的公式，P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+...+P(A|Bi)P(Bi)]，这个公式我们称为贝叶斯公式。
回到我们一开始的题目，一开始有6个小球，随机分配到三个盒子里，三个蓝我记为0，三个红我记为1。为防止搞错，因此我这里用相对直观的枚举讨论古典概型。实际上，我们只要考虑三个1三个0的全排列，然后把前两个记为第一个盒子，中间两个记为第二个盒子，最后两个记为第三个盒子，然后随机取一个盒子直接选第一个盒子（三个盒子等价），那么即可得到红红、红蓝、蓝蓝的概率比。
000111,001011,010011,100011,001101,010101,100101,001110,010110,100110,011001,101001,011010,101010,011100,101100,110001,110010,110100,111000
其中两蓝我用蓝色标出，两红我用红色标出，显然蓝蓝：蓝红：红红是4:12:4=1:3：1
如果换个角度考虑，第一个是蓝的概率是1/2,那么第二个是2/5，蓝蓝就是1/5,红红也是1/5，因此即为1:3:1
这里我在原贴由于第二个忘记去掉一个球导致得到了错误的1:2：1的结论。
然后简单贝叶斯，A取为随机拿出一个球为红球，Bi定为两个球都是红球，那么P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+...+P(A|Bi)P(Bi)]=(1*1/5)/(1*1/5+1/2*3/5)=2/5
因此答案为2/5
练习题
假设生男孩和生女孩的概率都是50%，一个家庭有两个孩子，已知其中有一个女儿，那么另一个是男孩的概率是多少。 |
