首先上面选的答案显然是有问题的，若认识是单方向的，在选出答案的构造下增加人，即认识所有人的人认识他，不认识所有人的人不认识他，他认识其中部分人，与条件并不矛盾，新构造成立。可以不断增加人数，因此不存在最多人。选出答案似乎试图归纳加奇偶分析，但是没有任何证明或归纳的成分。
若认识是双向的，显然矛盾，因为认识所有人的人一定认识不认识所有人的人，也就是两者间至少有一者为零。再按照我上面说的方法在构造了一个合理构造情况下仍可以不断增加人数，因此不存在最多人。
综上题目应该是记忆出了差错，我这里推测楼主应该想要表达ramsey number的问题。
首先ramsey number是一个迄今为止没有解决的数学问题。
问题的表述是你要邀请一些人来到你的庄园，保证其中一定有至少m个人互相认识或至少n个人互不认识，最少要邀请多少人。
这个人数记作R(m,n).
首先互相认识和互不认识这两种关系是完全对称的，因此我们可以得到R(m,n)=R(n,m)
下面用一点图论的方法来解决
我们把这些人看作点，那么两点之间的连线可以代表两人的关系（认识或不认识）。我用红色表示认识，蓝色表示不认识。
当求R(2,n)时。若有n个人，显然要么其中有一条以上的线是红线，要么全是蓝线，即要么至少两个人认识，要么全部互不认识，可得n个人的构造一定满足条件，即R(2,n)<=n.若有n-1个人，给出一种构造全是蓝线，那么0个人互相认识，n-1个人互不认识，既不满足至少2个人互相认识，也不满足至少n个人互不认识。即n-1个人存在不满足条件的构造，R(2,n)>n-1。综上R(2,n)=n,同理R(m,2)=m。
下面讨论m和n大于等于3的情况。需要用到数学归纳法。
若R(m-1,n)和R(m,n-1)存在，令p=R(m-1,n)+R(m,n-1)，取p个点连线染色，找一个参考点x，和x相连红线记为rx(小写r,指red),蓝线记为bx，显然rx+bx=p-1=R(m-1,n)+R(m,n-1)-1。若rx<R(m-1,n)且bx<R(m,n-1)，显然rx+bx<=R(m-1,n)+R(m,n-1)-2，因此该命题为假，其否命题为真，即rx>=R(m-1,n)或bx>=R(m,n-1)。若前者成立，则我们令q=rx.即有q个点和点x相连的是红线，这q个点满足R(m-1,n)，即要么q个点内有m-1个点及以上之间全是红线，要么有n个点及以上之间全是蓝线。若有n个点及以上之间全是蓝线，因为q个点是p个点中的一部分，因此显然p个点内显然至少有n个点及以上之间全是蓝线，即p个点满足条件。若有m-1个点及以上之间全是红线，因为这m-1个点和点x所连为红线，因此这m-1个点和x点共m个点及以上之间全是红线，即p个点内有m个点及以上之间全是红线，满足条件。关于bx的讨论同理。因此p个点一定满足R(m,n)。于是得到不等式R(m,n)<=R(m-1,n)+R(m,n-1)。
下面证明R(3,3)=6
套入上式可以得到R(3,2)=R(2,3)=3,R(3,3)<=R(2,3)+R(3,2)=6.
若有五个人,令a认识b,c, b认识a,d， c认识a,e，d认识b,e, e认识c,d，所有人之间既没有三人相互认识也没有三人互不认识，从图像来说就是这个五边形中蓝线与红线都构不成三角形，因此5不满足R(3,3)。R(3,3)>5。
R(3,3)=6得证。
上面大概是关于Ramsey的一点小科普，目前Ramsey Number还没有得出一致规律，已经得出的一些Ramsey Number大家可以百度一下，以及为什么明显有误的答案会被选为答案 。 |
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