一道证明题

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设集合S.
任意x,y∈S, 若 x≠y，则x·y≠y·x ;
任意x,y,z∈S,（x·y）·z=x·（y·z）;
证明:
任意x,y,z∈S, x·y·z=x·z.
(注: x，y，z没有特殊限制，可以是任何对象，不要局限在数上; ‘·’是一个运算符，不要默认它是乘法)

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这道题其实思路很容易形成，关键在于发现交换律若满足意味着什么。但是最关键的发现运算顺序是从左到右这一隐藏条件。一般来讲集合运算去找其幺元和零元。
对于任意k∈S,k·k·k=(k·k)·k=k·(k·k),从而对于k的n重运算不改变k的值。
那么记x·y·z=A,x·A=A,A·z=A,所以x·A·x=A·x=x·(x·A·x)=(x·A·x)·x,则x=x·A·x，从而(x·z)·A·(x·z)=x·z,而
(x·z)·A·(x·z)=A,得证。从对自身运算不变性开始，接下来不断沿着交换律去试就行。可以知道这道题肯定是考代换，于是需要构造更多的等式，而交换律的满足条件可以构造很多等式，于是形成如上思路。

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由条件, .运算 满足结合律.以下讨论中关于结合性的就不解释了.
以下讨论中 .运算符号 就省略了.
由条件,∀x,y,(xy=yx)→(x=y).
为方便表述,以下讨论省略一大堆∀啥啥啥的.

(xx)x=x(xx) ⇒ xx=x
x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx)=(xyx)x ⇒ xyx=x
(xyz)(xz)=xy(zxz)=xyz=(xzx)yz=(xz)(xyz) ⇒ xyz=xz

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我可以证伪。
依题：当x*z=0时显然成立。
若x*z≠0：不妨设x*y*z=x*z
那么两边同时左乘1/x，右承1/z，可得y=1。
然而y=1不可能在R上恒成立，
故原等式不恒成立。

22568

在Z上定义x.y=xy+y.
∀x≠y,x.y=xy+y≠xy+x=y.x.
对x=0,y=z=1,有
(x.y).z=(xy+y).z=(0*1+1).z=1.z=1z+z=2,
x.(y.z)=x.(yz+z)=x.(1*1+1)=x.2=2x+2=2*0+2,
但此时x.z=0.1=0*1+1=1.

综上,要么我看错题,要么lz出错题.



补充:所以lz的意思大概是

引用

∀x≠y,x.y≠y.x.
∀x,y,z,(x.y).z=x.(y.z).
证明∀x,y,z,x.y.z=x.z.

酱紫?

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开始题目没有说得很清楚，很多大前提我都省略掉了，可能给有心思考的人带来很多不必要的思考，希望大家再看一下题目好好想一想。
补充:其实就是一道简单的数理逻辑题。