再完整说一下雷霆数的定义：
一个大于一的数字的任意正整数次方结果，从后向前，每三位分成一节，先减后加，交替进行，得到的结果重复这个过程，直到得出不变的结果，结果仍然是该数字。
先还是在十进制下找这个数，设这个数为x，则1<x<1000（若x不小于1000，则x本身就会拆分成更小的数）。
令x^n=a1+1000*a2+1000000*a3+...+1000^(m-1)*am (其中n为正整数，a1,a2,...,am均为小于1000的自然数)，记为①式。
则当a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am<1000时，有：
x=a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am，记为②式。
观察①②两式的特点，可对①式等式右边部分模1001，则有：
a1+1000*a2+1000000*a3+...+1000^(m-1)*am≡a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am(mod 1001)
即：
x^n≡x(mod 1001)
x^n-x≡0(mod 1001)
当n=1时，上式自然满足，当n>1时，对上式进行因式分解，有：
x*(x-1)*[x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+…+x^2+x+1]≡0(mod 1001)
上式左边分成了三个部分，即x、x-1、x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+…+x^2+x+1，这三部分相乘可以被1001整除，所以我们需要看1001的质因数分别整除的是哪一部分，我们先看第三部分（姑且记这部分为Σx）。
如果Σx可以被1001整除，则n=3时，Σx=x+1，那么x+1是1001的整数倍，则x一定不小于1000，所以Σx不能被1001整除。
那么Σx是否能被1001的其中一个质因数整除呢？
设p为1001的一个质因数，若Σx能被p整除，n=3时，Σx=x+1；n=4时，Σx=x^2+x+1，那么有：
x+1≡0(mod p)
x^2+x+1≡0(mod p)
两式相减可得：
x^2≡0(mod p)
也就是说，若Σx能被p整除，x一定可以被p整除，所以Σx能提供的质因数，x都能提供，那么我们只需考虑剩下的两部分x和x-1能被1001的哪几个质因数整除即可。
同理可知x和x-1都不能被1001整除，那么要想让x*(x-1)被1001整除，x和x-1就需要分别提供1001的质因数。
换句话说，我们得出x满足下面这个性质：
把1001拆成两个数的乘积，这两个数分别可以整除x和x-1。
现在我们可以开始找了，1001=7*11*13，可以令x-1=7*11=77，那么x=78，78正好可以被13整除，所以78就是一个符合的数，这也就是百科里的雷霆数078。
那么078是十进制下唯一一个满足这个性质的数吗？并不是，比如：287（本身可以被7整除，286可以被11和13整除）、364（本身可以被7和13整除，363可以被11整除）等都满足这个性质。
但是，有这个性质的数满足的仅仅是①式和②式模1001后的结果，而并不是直接满足①式和②式，所以这些数也可能满足的是下面这个式子：
a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am=x-1001
所以x的n次方结果经过拆分加减最后得到的也可能是x-1001（x-1001的绝对值一定是小于1000的）
这也就是为什么验证078的15次方时，得到的结果是-923而不是078，因为-923=78-1001。
因为会得到负数，所以这样的性质就没那么好看了。
但还可以再挣扎一下，把满足的条件改成得到的结果的绝对值还是原来的数，这样的话，即使结果是负数也更好看一点。
那么在十进制下，我们要满足的式子是：
x-1001=-x
解出x=500.5，这个有小数点肯定是没法满足的。
所以为了得到整数，就必须在奇数进制下找了。
以九进制为例，我们要满足的式子是：
x-(9*9*9+1)=-x
解出x=365
再来验证一下365是否满足之前的性质：
9*9*9+1=730=365*2，365本身可以被365整除，而364可以被2整除，满足条件。 |
