解方程

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忘了是在什么地方看到的，总之很奇妙，凭着对解答的深刻印象倒推出来了hh

x1，x2……x10是10个正实数，且满足以下10个方程
(x1+……+xk)(xk+……+x10)=1
k=1，2，3……10

也就是说
x1(x1+……+x10)=1
(x1+x2)(x2+……+x10)=1
(x1+x2+x3)(x3+……+x10)=1
以此类推

求x1，x2……x10的值

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令s_i=a_1+...+a_i，s=s_n, b_i=1/(s_1*s_2*...*s_i), 那么s_i=b_[i-1]/b_i
s_k*(s-s_[k-1])=(b_[k-1]/b_k)*(s-b_[k-2]/b_[k-1])=1
化简得到b_k的递推公式b_[k-1]*s-b_[k-2]=b_k,令 b_0=1,b_1=0， 特征方程x^2-sx+1=0,两根为x_1、2=（s+-sqrt(s^2-4))/2（特征根，lambda打起来太麻烦用x代替），得到b_k=(x_1^(k+1)-x_2^(k+1))/(sqrt(s^2-4))，那么b_[n-1]/b_n=s=(x_1^n-x_2^n)/(x_1^(n+1)-x_2^(n+1))
即x_1^n-x_2^n=s(x_1^(n+1)-x_2^(n+1))=(x_1+x_2)(x_1^(n+1)-x_2^(n+1)),即x_1^n-x_1^(-n)=(x_1+x_1^(-1))(x_1^(n+1)-x_1^(-n-1))
化简得x_1^(2n+4)=1,x_1=w=e^(ipi/n+2)
a_k=b_[k-1]/b_k-b_[k-2]/b[k-1]=(w^k-w^(-k))/(w^(k+1)-w^(-k-1))-(w^(k-1)-w^(-k+1))/(w^k-w^(-k))=sin^2(pi/(n+2))/(sin((k+1)pi/(n+2))sin(kpi/(n+2))
取n=10，懒得列了给个数值解，0.5176380902050416, 0.18946869098150598, 0.10938979974117848, 0.08007889124032748, 0.06935035412101474, 0.06935035412101474, 0.08007889124032747, 0.10938979974117848, 0.18946869098150598, 0.517638090205041
比较好奇不求通项算n=10是怎么算的

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首先呢我们是可以得到x1=x10，x2=x9，x3=x8，x4=x7，x5=x6的，具体如下
由第一个和第十个方程
x1（x1+……x10）=1，
（x1+……+x10）x10=1，故x1=x10
由第二个和第九个方程
（x1+x2）（x2+……x10）=1，
（x1+……x9）（x9+x10）=1，
由于x1=x10，x2+……+x10=x1+……x9，
故x1+x2=x9+x10，故x2=x9
以此类推即可得到解的对称性

于是我们只需要求x1到x5
注意到（x1+……x5）（x5+……x10）=1
亦即（x1+……x5）[x5+（x1+……+x5）]=1，
故（x1+……x5）^2＜1，
x1+……x5＜1，
x1+……x10＜2，
因此可以构造一个以x1+……x10长度为底边，两腰均为1的等腰三角形

见下图的△ABC

x1（x1+……x10）=1，
故AD乘AB等于AC的平方，
AD比AC等于AC比AB，还有一个共同角CAB，故△BCA 相似于 △ADC
同理利用第二到第五个方程可以类似得到
△BCD 相似于 △AEC
△BCE 相似于 △AFC
△BCF 相似于 △AGC
△BCG 相似于 △AHC

然后由这几组相似关系就可以得到，等腰三角形的顶角被等分了
设∠CAD等于α，ADC与BCA相似就得到∠ACD也等于α，则∠BDC等于2α，
再由AEC与BCD相似就得到∠ACE等于∠BDC等于2α，故∠DCE也等于α
以此类推……

so最后这就是个底角15度腰长为1的等腰三角形，且顶角被十等分
x1到x10用简单的解三角形就能算出来，15度比较特殊所以刚好有根式解
（具体我也懒得算了）

对于一般的n，类似的方法可以得到是一个底角为π/n+2腰长为1的等腰三角形且顶角被n等分，最后的结果和sin（kπ/n+2）的值有关

讲得稍微有点啰嗦了ww

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裂开了……
要么题有问题要么我有问题
反正Sn不可能是2
但是我没看出来我哪步错了）
哪位高人指点一下