【简单物理入门】运动（3）

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零·三角函数的导数与复合函数求导
        根据我们第一篇中导数的定义，可以得到sin' x=[sin(x+△x)-sin x]/△x=(sin x cos△x+cos x sin△x-sin x)/△x
        当△x趋近于0的时候，cos △x趋近于1，sin △x趋近于△x （一阶小量）
        因此sin' x=cos x
        同理可以算出 cos' x=-sin x，过程可以当做练习。
        导数四则运算。
        [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)
        [f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
        [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2
        如果函数为复合函数，f'[g(x)]=f'(x)*g'(x)，
        因此我们可以计算 tan' x=(sin x/cos x)'=(sin' x cos x-sin x cos' x)/(cos x)^2=1/(cos x)^2
       
一·加速度
        速度是位置的变化率，那么加速度就是速度的变化率，只要速度对时间再求一阶导就可以算出加速度了。
        假设物体匀加速直线运动，x=2t^2,那么我们求一阶导，v=4t，再求一阶导 a=4，可以得出该物体是初速度为0，初位置为0，加速度为4的匀加速直线运动。
       
二·自由落体和平抛运动
        自由落体是初速度为0，只受重力影响有一个向下的加速度，重力加速度用 g 表示，一般取 g=9.8m/(s)^2,
        我们反过来，由加速度推下落距离。y取向下为正
        初速度为0，初位置为0，t时刻的速度很好判断，v=gt，因为这是一个匀加速直线运动，所以 v 和 t 成正比。
        v是变速，这个时候求位移一般要通过积分，但是我还没讲，这里我们利用 v 和 t 成正比的特点，作个v-t图，显然，每一时刻经过的距离就是v-t曲线下所围的面积，那么经过t，下面所围的面积是一个三角形，因此 y=0.5vt=0.5gt^2,
        平抛运动则是自由落体的同时给物体一个水平的初速度v0，根据我们上一章所讲的速度合成与分解，可以轻易地把运动分解为水平匀速直线运动和竖直自由落体的合成，得到x=v0t,y=0.5gt^2

三·角速度
        在有些时候，物体的运动不一定是直线，或者分解成直线运动很麻烦，我们可以从角度去分析。将物体和参照物连线，经过时间t，再连线，两个连线间转过的角度就是角位移，记作θ，那么角速度就是角位移除以时间t，ω=θ/t，其余类似的都可以近似直线运动的位移和速度去分析。

四·匀速圆周运动
        匀速圆周运动指在圆周上往一个方向以恒定速度 v运动。
        那么当角度为θ时，x=r cosθ，y=r sinθ，对x,y分别求导得到x,y方向的速度，（注意vx=-r sinθ,vy=r cosθ是错的，因为我们不是对θ求导而是对t求导，因此得到的结果根据复合函数求导法则还要再乘一个角度对时间的求导也就是角速度），vx=-ωr sinθ，vy=ωr cosθ，根据速度的合成v,vx,vy是一个直角三角形，根据勾股定理，v^2=vx^2+vy^2=(ωr)^2，v=ωr，我们得到了角速度与速度和半径的关系。
        v再对时间t求一阶导，ax=-ω^2*r cosθ,ay=-ω^2*r sinθ，勾股合成 a=ω^2*r，也就是说加速度等于角速度的平方乘半径，你画一下图也可以发现这个加速度的方向始终指向圆心，如果不想画图就取θ=0，ax=-ω^2*r，ay=0，发现在0位置加速度指向圆心，没有切向加速度，根据对称性可以知道加速度始终指向圆心，这就是向心加速度。

习题
岸边有一小船，岸角上有一个定滑轮，岸比水面高H，小船离岸边水平距离L，小船一头接绳子绕过滑轮被岸上的人以速度v拉着走，求：
（1）小船的速度
（2）小船的加速度

本题为我初入高中时加入物理兴趣小组选拔试题的压轴题，第二小题有一定难度（对于初中生来说），但是用我前面讲到的内容已经足够解决，甚至可以用不止一种方法解决。
为方便计算，这里给出具体数值，H=3m,L=3m,v=1m/s，答案可以符号解也可以用数值解
运动这章到这里结束，下一章可能讲牛顿定律

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