数学运算问题，来帮我找找逻辑

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小明要坐公交车从家去往学校，路上一共15个公交站，不能坐回上一车，不能步行到下一个站点，不能往回坐（上车后，不坐到下一站就下车不算一种情况），已知：
A车路线为第1站到第6站，
B车路线为第3站到第10站，
C车路线为第7站到第12站，
D车路线为从第10站到第15站
常规做法为分类讨论
第一种情况，直接从B车上D车
第二种情况，从789站上C车后，从第10站上D车
第三种情况，从第10站上C车后，从11和12站上D车
最后算得48种情况，可是发现直接用4个车交汇的站点数相乘就能直接得出结果：
4×4×3=48
这是我算错了，还是说有内在逻辑的，如果有，内在逻辑是什么？
实际上是做题偶然发现的，想不通内在逻辑，改编一下拿来，谁来帮我一下

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第二种情况应该是从第10，11，12站上D车吧
补充:其实第二、三种情况没有本质区别，而第一种情况可以视作“在C车上坐了0站（一瞬间上了C车又下了C车）”，所以可以这么算

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我觉得应该想象一条数轴，ABCD就是对应长度的线段两条线段的重合点就是对应的换乘点，AB4个重合，BC4个重合，CD3个重合

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画一个数轴，标注每种车的起始站和终点站。看题目应该是最后坐到15站的，而直达15站的车只有D车，所以可以用逆推法来解决。首先，要最后坐上D车的话，只能从10，11，12这三个有其它车经过的站台上，这里有3种可能。然后，要想到这三个站台，要么坐C车，要么坐B车从10上，而B，C两车都会经过7，8，9，10这四个站台，这里有4种可能。最后，从B，C两车起始站可以看出，C车起始站只有B车经过，这是属于上一步的推理过程，这一步算不了，所以算B车的，即从3，4，5，6这四个有A车经过的站台上，这里有4种可能。三步推理的可能相乘就是答案了。（个人理解，不知道对不对）

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这是题目的巧合吧，一般化的是不能直接乘的。比如把B的路线改成3-11，11下之后C就不能在10站上D了。而如果B是3-9那直接相乘也不会有争议。3-10刚好是边界，10站B-D等价于B-C-D，从计数上没有区别。
也可能题目考的也是这点？如果能意识到等价性，就能快速得到答案，否则就要花更长时间。

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直接相乘不就是把往回做的也算了

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因为每一层重叠次数即是每层出现的可能情况，三层情况相乘就是总的可能数

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可以A路线做到第三站换B路线吧