再完整说一下雷霆数的定义:
一个大于一的数字的任意正整数次方结果,从后向前,每三位分成一节,先减后加,交替进行,得到的结果重复这个过程,直到得出不变的结果,结果仍然是该数字。
先还是在十进制下找这个数,设这个数为x,则1<x<1000(若x不小于1000,则x本身就会拆分成更小的数)。
令x^n=a1+1000*a2+1000000*a3+...+1000^(m-1)*am (其中n为正整数,a1,a2,...,am均为小于1000的自然数),记为①式。
则当a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am<1000时,有:
x=a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am,记为②式。
观察①②两式的特点,可对①式等式右边部分模1001,则有:
a1+1000*a2+1000000*a3+...+1000^(m-1)*am≡a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am(mod 1001)
即:
x^n≡x(mod 1001)
x^n-x≡0(mod 1001)
当n=1时,上式自然满足,当n>1时,对上式进行因式分解,有:
x*(x-1)*[x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+…+x^2+x+1]≡0(mod 1001)
上式左边分成了三个部分,即x、x-1、x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+…+x^2+x+1,这三部分相乘可以被1001整除,所以我们需要看1001的质因数分别整除的是哪一部分,我们先看第三部分(姑且记这部分为Σx)。
如果Σx可以被1001整除,则n=3时,Σx=x+1,那么x+1是1001的整数倍,则x一定不小于1000,所以Σx不能被1001整除。
那么Σx是否能被1001的其中一个质因数整除呢?
设p为1001的一个质因数,若Σx能被p整除,n=3时,Σx=x+1;n=4时,Σx=x^2+x+1,那么有:
x+1≡0(mod p)
x^2+x+1≡0(mod p)
两式相减可得:
x^2≡0(mod p)
也就是说,若Σx能被p整除,x一定可以被p整除,所以Σx能提供的质因数,x都能提供,那么我们只需考虑剩下的两部分x和x-1能被1001的哪几个质因数整除即可。
同理可知x和x-1都不能被1001整除,那么要想让x*(x-1)被1001整除,x和x-1就需要分别提供1001的质因数。
换句话说,我们得出x满足下面这个性质:
把1001拆成两个数的乘积,这两个数分别可以整除x和x-1。
现在我们可以开始找了,1001=7*11*13,可以令x-1=7*11=77,那么x=78,78正好可以被13整除,所以78就是一个符合的数,这也就是百科里的雷霆数078。
那么078是十进制下唯一一个满足这个性质的数吗?并不是,比如:287(本身可以被7整除,286可以被11和13整除)、364(本身可以被7和13整除,363可以被11整除)等都满足这个性质。
但是,有这个性质的数满足的仅仅是①式和②式模1001后的结果,而并不是直接满足①式和②式,所以这些数也可能满足的是下面这个式子:
a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am=x-1001
所以x的n次方结果经过拆分加减最后得到的也可能是x-1001(x-1001的绝对值一定是小于1000的)
这也就是为什么验证078的15次方时,得到的结果是-923而不是078,因为-923=78-1001。
因为会得到负数,所以这样的性质就没那么好看了。
但还可以再挣扎一下,把满足的条件改成得到的结果的绝对值还是原来的数,这样的话,即使结果是负数也更好看一点。
那么在十进制下,我们要满足的式子是:
x-1001=-x
解出x=500.5,这个有小数点肯定是没法满足的。
所以为了得到整数,就必须在奇数进制下找了。
以九进制为例,我们要满足的式子是:
x-(9*9*9+1)=-x
解出x=365
再来验证一下365是否满足之前的性质:
9*9*9+1=730=365*2,365本身可以被365整除,而364可以被2整除,满足条件。 |