简单有趣的证明题

162625 · 发表于 2022-8-24 22:15:02

【东京大学招生试题】

证明π＞3.05

74088 · 发表于 2022-8-24 22:37:27

突然想到一种又简单又麻烦的证明方法
前提是要确定π为圆周率，即π等于圆（凸多边形）对周长除以半径。
这样的话只要用微元法，从正方形开始不断微分，正八边形，正十六边形，然后通过计算，不断用其周长除以2倍的顶点到对称中心的长度，肯定能够大于3.05。
就是计算麻烦，不过不用动脑子了。

113602 · 发表于 2022-8-25 13:59:31

如图所示

121843 · 发表于 2022-8-27 22:01:49

在园内取正n变形
被分割成n个三角形，总面积是(n/2)×(sin「2π/n」×r²)
当n趋近无穷大时，由等价无穷小代还，得圆的面积是πr².
圆内取正48边形，显然正48边形面积小于圆。
正48边形的面积:24×sin「π/24」r²
由1/2sin「π/24」cos「π/24」=sin「π/12」
sin「π/12」=sin「π/3-π/6」
解得sin「π/24」=√（2-√（2+√3））/2
近似得sin「π/24」=0.13
3.05<0.13×24=3.12<π

172008 · 发表于 2022-8-25 00:12:15

把出题人打一顿

[数学趣题] 简单有趣的证明题