原贴 1+1等于？我来告诉你答案
关于 1+1 = 2 的证明，首先我们要定义什么是 1，什么是 2，什么是 + ,什么是 =。
首先根据 Peano axioms 定义自然数。
1.0是自然数
2.对于任意一个自然数，都有唯一确定的后继数，后继数也是自然数
3.对于任意自然数， 两数相等等价于两数的后继数相等
4.0不是任何自然数的后继数
那么我们可以轻易得到1是0的后继数，2是1的后继数。
然后我们定义一种序关系 >=（≥我后面都用>=来表示因为打起来不方便）
1.任意自然数>=它本身
2.若a>=b,b>=a,则a=b
3.若a>=b,b>=c,则a>=c
4.一个数的后继数>=它本身
接下来定义加法
1.两个自然数相加结果也是自然数
2.a+b=b+a
3.(a+b)+c=a+(b+c)
4.对任意自然数a>=b,存在唯一的自然数c使 b+c=a
5.对任意自然数，a+b>=a
首先考虑 0
对于任意自然数 a，根据加法第四条，存在唯一确定的 e(a) 使得 a+e(a)=a。任取两自然数 b>=a,存在 a+c=b（加法第四条），即 a+e(a)+c=b+e(b)=d
d>=a+c,d>=b,a+c=b，根据加法第四条得到 e(a)=e(b)，即任意自然数 a 存在相同的 e 使得 a+e=a
根据加法第五条和>=第四条，任意自然数 a+e>=e,a+e=a 因此 a>=e,因此 e 不是任何自然数的后继数，根据自然数第四条，e=0
因此对于任意自然数 a,a+0=a
同时根据交换律， 1+0=0+1=1
我们用 a' 表示 a 的后继数
当 a=0 时，a+1=a'
若 a=n 时，a+1=a',则 a=n' 时:
n+1=n' 由加法第五条和>=第四条可以得到 n''>=n'=n+1>=1,由加法第四条可以得到存在自然数 c 使得 1+c=n'',由加法第五条得到 n''>=c,又因为当且仅当 e=0 时 0+c=c,1和0的后继数不相同，1不等于0，因此 c 不等于 n'',同时由于 1+c=n''>=n'=1+n,因此存在唯一的自然数 1+c=1+n+f，n+f=c
因此c>=n。于是我们可以得到 n''>=c>=n,又因为1+c=n'',1+n=n'，n'不等于n''，因此 c 不等于 n。于是 c=n'。
即若 a=n 时，a+1=a',则 a=n' 时，a+1=a'也成立。
因此对于所有自然数，a+1=a'都成立。
1的后继数是2，因此 1+1=2 |
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