【原创】一道数学题

98679 · 发表于 2022-1-24 01:15:29

突然想到一个很简单的题，供大家品玩
若函数fx gx hx 均为定义在r上的连续函数，且fx+gx，gx+hx，hx+fx，fx+gx+hx四个新函数在r上均单调递增
问: fx gx hx 中是否有至少一个函数在R上单调递增，若是，请证明，若不是，请说明理由

168598 · 发表于 2022-1-24 09:23:15

先问一句，这大概是几年级的题目

172452 · 发表于 2022-1-24 10:22:19

反证法，假设全部单调递减，命题不成立，得证

81845 · 发表于 2022-1-24 16:09:10

前三个条件就可以决定第4个，因为这一组不线性无关，所以条件重复。那么只考虑前三个。这就比较好构造了。fx=x^3-x^2，这个函数很典型，有两个零点，而且处处可导。它不是一个单调的函数。gx=(x+3)^3-(x+3)^2，将fx向左平移三个单位。hx=(x-3)^3-(x-3)^2，将fx向右平移三个单位。可以验证这三个函数，两两组合相加，导函数都是恒大于0的。(导函数为二次函数，可以直接求判别式的大小，这几个判别式都小于零，说明实数域内没有根，而这三个函数都定义在实数域内，也是连续函数，满足题意)。
因为找到了一个例子，所以不一定。
这里其实首先想到的是三相交流电，然后模拟三相交流电的原理调制。

168598 · 发表于 2022-1-24 16:17:16

想到一种图像法……但感觉推不到一般那里去

81845 · 发表于 2022-1-24 16:55:06

理发前随手写了一下，构造方法如上面所说。

152333 · 发表于 2022-1-26 21:27:52

构造反例的时候先用导数，找到以后积分回去就可以了，调整一下+C使其连续。（希望我C都没算错

121843 · 发表于 2022-5-22 12:44:46

两两相加为增，只需要保证每段内，恒有两个以上函数在增，另外一个不增不减。
在(-∞，x1)有f(x)=x,g(x)=x,h(x)=0
(x1,x2)f(x)=x,g(x)=0,h(x)=x
(x2,+∞)f(x)=0,g(x)=x,h(x)=x

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