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[数学趣题] 这题不会……

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发表于 2022-1-21 11:01:12 | 来自小霸王手机 | 显示全部楼层 发帖际遇
已知一个△ABC,它的三边之长及一条高是四个连续的整数,且这条高线将△ABC分割为两个边长都是整数的直角三角形.请求出所有符合条件的ΔABC的三边长。

哪位大佬教教我……除了分情况用勾股定理列方程硬算,我想不出其它任何方法。
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此回答在 2022-5-23 23:06 被选定为谜题答案,获得破案经验 1

| 发表于 2022-1-21 11:07:17 | 2022-1-21 11:12编辑 | 显示全部楼层 发帖际遇
12、13、14、15的三角形,仅此一个哦
附图一张
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此回答在 2022-5-23 23:06 被选定为谜题答案,获得破案经验 1

| 发表于 2022-5-22 13:08:31 | 发自安卓客户端 | 显示全部楼层 发帖际遇
4                   3                  5
12                  5                 13
24                 7                 25
40                 9                 41
60                 11                 61
112                13                113
x                   y      .           z
xx,yy,zz,y=z,四种组合。
y=2n-1
z=2n²-2n-1
当2(n+k)-1=2n²-2n-1时取等。k为正整数。
5→1
13→1+4
an=a(n-1)+【n²-(n-2)²】/2
理论上自然数是发散且递增数列,n→∞,所以an的个数有∞多个。
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| 发表于 2022-1-21 11:03:56 | 发自安卓客户端 | 显示全部楼层 发帖际遇
方程
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| 发表于 2022-1-21 14:55:44 | 显示全部楼层 发帖际遇
……作业帮没落了吗
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| 发表于 2022-1-22 08:30:35 | 发自安卓客户端 | 显示全部楼层 发帖际遇
可能会,但懒的做
| 发表于 2022-1-22 13:34:37 | 发自安卓客户端 | 显示全部楼层
分类讨论
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| 发表于 2022-1-22 17:52:01 | 2022-1-22 17:55编辑 | 发自安卓客户端 | 显示全部楼层
我只算出来了五种,具体是多少...还挺麻烦的
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| 发表于 2022-9-25 23:01:07 广东| 显示全部楼层
引理:如果两个整数的算术平方根之和为整数,那么两个平方根都得是整数.
证明略.

于是那条高把对应边分成的两段都得是整数.
高记为h,上边两边可能是h+1,h+2,h+3,下边两段的平方可能是2h+1,4h+4,6h+9.
两个平方根的和至少为h-1,故sqrt(2h+1)+sqrt(4h+4)>=h-1,h最大只能十几.
试一遍找出能取到两个平方的,再验下完整条件就完了.
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