第二版杀拉的五题串烧

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第三题再次由@天马行空 答对了，，，
第四题先等一晚上吧，，，照这个势头下去估计5题全给一个同大神解决了

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@wclloveqq @推理的艺术 @马小峰
另外再补充一下前三题我自己原来准备的答案吧。。。应该更通俗易懂一点
解第一题：
描述灯的状态只有两个指标：
光，热
亮着，暗着。
热的，冷的。
对应出四种状态：亮着是热的，亮着是冷的，暗着是热的，暗着是冷的

接下来，先从4个灯开始。
1号2号灯打开足够灯泡发热的时间
之后，关闭2号，打开3号。
立刻进入检查各个灯的状态：
亮着是热的：1号
亮着是冷的：3号
暗着是热的：2号
暗着是冷的：4号
就可以区分开了……

这就说明了，进入一次可以将4个灯泡的对应关系确认。
该操作记为(*)

如果是5到16个灯泡的情况呢？
就可以把所有灯泡分成4组，那么每组最多有4个灯泡。
接着对这4组进行(*)操作
然后进入第一次
接着对各个组内进行(*)操作
在进入一次
就可以将最多16个灯泡分辨出来了

由此推算
4的三次方=64＜100＜256=4的四次方
则辨别100个灯泡只需要4次进入房间


解第二题：
解：492种
记到第n格的可能有f(n)种。
则有：
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)
(站在第n-1格抛出1的情况，加上站在第n-2格抛出2的情况……加上站在第n-6格抛出6的情况。)

而且，容易得出
f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=4，f(4)=8，f(5)=16，f(6)=32。

于是递推得：
f(7)=32+16+8+4+2+1=63
f(8)=63+32+16+8+4+2=125
f(9)=125+63+32+16+8+4=248
f(10)=248+125+63+32+16+8=492

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@wclloveqq
第三题的解法：（这个是我自己想到的解法和其他解法比起来还有很多不足）
如果局面变成(2，1)那么轮到的玩家就必输无疑。
所以(2，1)是必输的情况。
同样的，也可以直接看出(5，3)也是能够让轮到的玩家必输的状况。
(无论怎么拿，都会变成(2，1)，或者直接输的情况)
所以(5，3)也是必输的情况。
只要找出全部的诸如此类的情况的话，先拿的人，如果面对的不是这种情况，就可以通过拿取，制造出这种“必输”的情况。

接下来，就是找出这些“必输”的情况。
(以下是个人的想法，和网上的可能不一样，也没去确认过。)

先把简单的必输的几组找出来：
(因为两堆等价，哪堆多哪堆少不重要，所以统一把左边写成大的)

(2，1)
(5，3)
(7，4)
(10，6)

在这里再说明一遍“必输”的原因。
如果A面对着(10，6)，无论A怎么拿，B总可以制造出(7，4)；(5，3)；(2，1)或者直接B获胜的情况。
所以对于A来说，(10，6)是必输的。

必输组合的特点在于，无论这个人怎么拿，对方总可以通过拿取，留给这个人另一个数字更小的必输组合或者直接获胜。
并且由于一一对应且唯一，这个人无法反过来制造出必输局面给对方。

有了(2，1)(5，3)(7，4)(10，6)之后，就拿找下一组为例。

找下一组的方法：
大的那个数减去小的那个数，肯定得=(上一组的数的差值+1)。
其次，小的那个数，必须是之前都没有出现过的数。
在这里，小的数得是8。(因为之前的情况下，1到7都出现过了)
差值是5，(因为上一组的差值是10-6=4)
所以，下一组为(13，8)

这样的话，所有的数都不遗漏，并且差值是恒定增加的。………………(*)
并且，所有的数只出现一次。………………(#)
这将会是必胜法

为什么呢？
面对必输的组合(m,n)时：
无论选择从一堆拿取，还是从两堆中拿取。拿完之后，一定至少会新出现一个数p(p不等于n)，而p小于m。而在必输组合中，一定存在着一个q(q不等于p)，使得(p,q)为必输组合。
这样，留给对方的，又是一个必输组合。

可以很容易地通过上一组组合，继续递归：
(2，1)(5，3)(7，4)(10，6)
(13，8)(15，9)(18，11)(20，12)
(23，14)(26，16)(28，17)(31，19)
(34，21)(36，22)(39，24)(41，25)
(44，27)(47，29)(49，30)(52，32)
(54，33)(57，35)(60，37)(62，38)
(65，40)(68，42)(70，43)(73，45)
(75，46)(78，48)(81，50)

好了，由于题目一开始给的是(100，50)
在组合中已经出现了50，也就是说，先拿的玩家只需要从100颗的那堆中，拿取19颗。留给对方(81，50)必输局面。
则无论对方怎么取，总能给对方一个必输局面。

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第四题：甲和乙进行逻辑游戏，黑板上有一个数：10的2015次方。两个人只能轮流选择下列其中一个操作进行：
1用两个数a和b来代替黑板上原来有的一个数x，要求a*b=x。（a,b不为1）
2擦掉黑板上两个相等的数。
如果有人无法进行这样的操作的话，就算输。
甲先操作，请问，甲和乙谁拥有必胜法？什么样的必胜法？

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第四题:
先是一如既往的询问歧义的理解..
"两个人只能轮流进行下列操作：1.blablabla;2.blablabla."是什么意思?
一人只能用操作1,另一人只能用操作2?
或者是 每人轮到时都能从两项中任选一项?
或者是 每人轮到时都要依次执行两个操作?

如果是第一种理解,那么轮到第二人时就死了.
如果是第二种操作..见下文..
如果是第三项操作,第一步就动不了.

下一个问题..
"1用两个数a和b来代替黑板上原来有的一个数x，要求a*b=x。"
并没有要求a和b不为1?
那么在仍有数的时候必然可以继续执行操作1?

ps.是否能按 x->x,1->x,1,1->x 死循环?

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第四题..
已经说了不为1了吖..那..我先猜一个意思给一个答案乃看成不成吧..

先手必胜.
第一步将10^2015改为2^2015和5^2015.
显然以后任意时刻的任意一个数都是2或5的幂.
无论后手如何操作,先手总有对应的操作,使得 2的幂 那些数和 5的幂 那些数一一对应.
(具体地,每当后手将a^p拆成a^q和a^r,或者擦去两个a^p时,先手总能立即将b^p拆成b^q和b^r,或者擦去两个b^p,其中{a,b}={2,5}.这样,每次先手操作后,2的幂和5的幂总能按次数一一对应.)

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第四题再次由@天马行空 答对了
方法也对了

第五题再缓缓吧

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解：
甲拥有必胜法！
甲第一次用5的2015次方和2的2015次方代替10的2015次方。

此后，甲每完成一次都可以让黑板上的数为：2∧a1,2∧a2......2∧ak和5∧a1,5∧a2......5∧ak这样的情况。把这个情况记为(*)。

乙碰到这个情况(*)，由于2和5都已经是素数了，那么乙如果进行操作1的话，必然会：
将一个2∧x用2∧x1和2∧x2来代替。

此时，甲只需要进行操作1：
将5∧x次方用5∧x1和5∧x2来代替

还是会留给乙一个(*)的情况。


如果乙进行操作2的话，乙擦掉了2∧b1和2∧b2两个数。
甲可以擦掉5∧b1和5∧b2两个数，再给乙留下(*)的情况。

于是，不管乙如何动，甲都可以将情况变为(*)。由于步数肯定是有限的，所以乙肯定会是最先无法进行操作的人。


应@wclloveqq 的要求，第五题（最后一题）来了

希望能顶着久一些

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第五题：有A,B两个大盆，里面各有一个带电小球。随后向两个大盆的方向丢带电小球。
当A盆里有a个，B盆里有b个小球时，由于受到各种复杂的电磁力影响，新丢出来的小球进入A的概率是a/(a+b)，进入B盆的概率是b/(a+b)。
总共丢2014个小球，已知最后两盆里小球数目不等，求小球数目较少的盆子里的小球数目的期望是多少？

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弱弱的给一个答案~虽然我知道一定是不对的~
当a<b时，E=（2014-a-b）*a/（a+b）
当a>b时，E=（2014-a-b）*b/（a+b）