【原创】简单题（面）（不知道有没有人发过）

85815 · 发表于 2020-3-8 22:54:09

昨天翻题目的时候翻到一道（同学给的）统计题，是这个样子的：

有一根长为1的线段，在上面任取两点AB，设AB长为x，求x的期望。

大佬可以略过以下内容：
为了使没有学过期望的小伙伴也能做（看懂解答），我稍微解释下期望是啥。
举个例子就可以了：你去抽奖，1/2的概率没奖，1/4中5块钱，1/4中2块钱，你每次抽奖的期望就是中0*1/2+5*1/4+2*1/4=7/4块钱。
~~（我给的答案或许可能会有一点点积分的想法？）~~

113602 · 发表于 2020-3-9 00:02:41

如图所示，三分之一

117535 · 发表于 2020-3-9 00:04:23

1/3
x×p=x²
积分1/3x³
x最大为1
所以是1/3
补充:可恶，晚了一步

61864 · 发表于 2020-3-9 00:24:04

为了方便计算，把长度另设为a，A、B两点分别落在线段的x、y处。
建立xy直接坐标系，于是我们得到了一个边长为1的正方形。
求期望的话就是求这个正方形里每个点的|x-y|之和（或者说就是求一个二重积分，按定义来说|x-y|就是正方形点密度）（具体解释我也记不清了）
这时又发现这个正方形关于y=x对称，可以把右下部分的密度翻到左上，左上密度就是0~2，右下为0。（这步为了去掉绝对值符号）
这样积分就好写了（然而我的高数水平和概率论水平让我不确定这样做对不对）
补充:啊，我也慢了一步

106268 · 发表于 2020-3-9 11:36:23

1平方加到n-1平方的公式实在不会，原谅高中🐶的卑微。

22568 · 发表于 2020-3-9 12:15:17

直接目测的话是锥体体积1/3.
事实上有个巧妙的方法可以说明是1/3.

可以考虑下这个推广:
在线段上随机取n个点将线段顺次分成的(n+1)段,求每段的长度的期望.

(作业:尝试用n重积分算出结果....

113602 · 发表于 2020-3-9 12:26:29

实际上重积分是最好理解的，只是计算过程需要一点积分知识。既然需要初等数学的方法，首先分类讨论，两个点在中点同侧和两个点在异侧概率各为1/2，异侧由于对称性期望显然是1/2，同侧的话即为在1/2上截取线段长的期望，设1上截取线段长期望为x，则可列出方程1/2*1/2*x+1/2*1/2=x，解得x=1/3，甚至不需要微积分

61864 · 发表于 2020-3-9 12:58:14

楼上有大佬提到了锥体体积，于是想到了把上面我那个积分简化到高中能懂的做法
一样是建系得到正方形，|x-y|为高度。期望＝概率x对应的结果值，那么这里就可以转化为求这个体积。然后再用之前翻叠的方法将其转换为底面为等腰直角三角形，高度为2的锥体。这时就可以用锥体体积等于三分之一底面积乘高得到E＝V＝1/3 x 1/2 x 1^2 x 2＝1/3

113602 · 发表于 2020-3-9 14:04:31

这里给平方求和的一些方法@大理寺尚书

81845 · 发表于 2020-3-11 02:55:23

因为在上面放了2个点，所以分成了3段，记为x,y,z,则x+y+z=1,不妨令z为所求线段长度，则x,y可以互换，概率要乘2,那么期望E就是2倍的棱锥体积,2*1/3*1*1/2*1*1=1/3。其实上面的对称不妨再绝一点，x,y,z地位其实都是等价的，因为可以互换位置，所以E(x)+E(y)+E(z)=3E(z)=1,直接得1/3,此为取巧方法，也许有点道理？当然，重积分比较稳。

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