Emissary,1999年秋季卷题选

81845 · 发表于 2019-5-17 16:44:22

将数（1+sqrt（2））^500表示成十进制小数形式，请问小数点后第99位数字是多少？
P.S.:sqrt(n)表示n的平方根（square root）

22568 · 发表于 2019-5-17 18:45:57

反正就是说(sqrt2-1)^n快速收敛于0所以(sqrt2+1)^n小数点后很快就有一大堆9.
证明的话就略微放一下说明n足够大就行了.

81845 · 发表于 2019-5-17 16:45:56

等有人想出答案后，这题需要拓展一下，思想还是很值得学习的

补充:算术平方根，是大于0的那个不好意思

81845 · 发表于 2019-5-17 21:29:06

emmm,还有别人愿意分享一下思路吗

77092 · 发表于 2019-5-17 21:45:36

无限接近极限值？
我学历小学，这么难的问题我不会。

85815 · 发表于 2019-5-17 21:59:15

最优解还是收敛。
但是不信邪的我决定展开

，啊不还是数学归纳吧。
先随意计算出平方，立方，四次方。
结果是2+2*sqrt（2）；7+5*sqrt2;17+16*sqrt2
可以发现sqrt2倍数不断增多，小数就趋近1了。

81845 · 发表于 2019-5-18 00:04:41

可能会有人奇怪，这道题可以拓展什么呢？先看看答案:我们观察共轭数sqrt(2)-1的500次幂，很容易证明这个数远小于1,且远远小于我们规定的精度，而这一对共轭数500次幂之和为一个正整数，则我们要求的数后面会出现大堆的9（实际上有191个9,然后下一位是5）
补充:实际上，寻找对偶关系是一种常见方法，而共轭是最常见的一种对偶，在三角估值等运算中经常出现。以上是个人一点心得，如有错误欢迎纠正。
补充:另，最近在收集一些market sizing的试题和解法，有线索的欢迎留言

[数学趣题] Emissary,1999年秋季卷题选