圆形硬币推理题

39371 · 发表于 2018-1-16 11:39:30

在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖。

45480 · 发表于 2018-1-16 14:31:07

依题意，对桌面上任意一点，它到离它最近的圆心的距离都小于圆的直径。设圆的半径为a，则桌子可以被n个半径为2a的圆覆盖。
同理1/4的长方形（长宽各变为原来的一半）可以被n个半径为a的圆覆盖。
因此，总长方形可以被4n个圆覆盖。

39371 · 发表于 2018-1-19 21:40:33

要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠，两个硬币的圆心距必须大于直径。也就是说，对于桌面上任意一点，到最近的圆心的距离都小于2，所以，整个桌面可以用n个半径为2的硬币覆盖。把桌面和硬币的尺度都缩小一倍，那么，长、宽各是原桌面一半的小桌面，就可以用n个半径为1的硬币覆盖。那么，把原来的桌子分割成相等的4块小桌子，那么每块小桌子都可以用n个半径为1的硬币覆盖，因此，整个桌面就可以用4n个半径为1的硬币覆盖。

[数学趣题] 圆形硬币推理题