桌面上的硬币

43435 · 发表于 2017-6-16 11:41:28

在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖

44506 · 发表于 2017-6-16 18:42:53

目测用高数，我反正不会了

44485 · 发表于 2017-6-16 21:21:45

设长方形的长为X，宽为Y，硬币圆心为r
当硬币圆心在桌面内再放就重叠的话则有等式：
X=a*2r;Y=b*2r 即硬币数量为a*b 而由题可知a*b<=n
所以求硬币完全覆盖整个桌面即为求桌面的面积，则有：
面积=X*Y=a*b*4r2<=4nr2

43069 · 发表于 2017-6-16 23:57:35

手机打字不方便，我只简单说一下想法。要解决此题目，首先要确定硬币最少的情况下如何排列，若要增加一枚硬币必定出现覆盖，需任意两枚硬币圆心的距离小于2R(假定R为直径，r为半径)，那么硬币需以等边三角形方式排列，边缘硬币圆心距离桌子边缘的距离小于R，那么如果增加一倍硬币，如何排列?补空嘛，就是把等边三角形的三条边的空处盖上，然后再加一倍硬币，可以将等边三角形中心的空缺盖上，这才3n个硬币，而且足够覆盖边缘的一部分，可以叫外三角形中心，那么再加一倍硬币，覆盖边缘剩余的空隙绝对足够了。我懒得去算，但这样推算，绝对够了。

[IQ风暴] 桌面上的硬币