证明题(建议用反证法)

134077 · 发表于 2020-8-30 16:39:54

证明:√2＋√3是无理数。

53306 · 发表于 2020-8-30 16:45:10

如果2^0.5+3^0.5是有理数的话，那么(2^0.5+3^0.5)^2=2+2*6^0.5+3=5+2*6^0.5就是有理数。
（依据就是有理数的平方必为有理数啊）

这种题目的证明方法不止一种啊。

118877 · 发表于 2020-8-30 16:57:31

假设√6是有理数,则存在整数p,q使得 p/q=√6,且p,q互质所以p^2=6q^2因为等式右侧能被2整除,所以p一定是偶数,设p=2p',所以2p'^2=3q^2所以q也能被2整除,这于p,q互质矛盾,所以√6不是有理数。
然后就和楼上哈兄的一样了。

22568 · 发表于 2020-8-30 19:11:41

平常最常见那个方法有人说了,那我换一个也比较常规的..吧....?

±sqrt2±sqrt3是F(x)=(x-sqrt2-sqrt3)(x-sqrt2+sqrt3)(x+sqrt2-sqrt3)(x+sqrt2+sqrt3)=x^4-10x^2+1∈Q[x]的根.
由因式定理,多项式F的根∈{1,-1},而显然±1都不是F的根,故±sqrt2±sqrt3∉Q.

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