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151321 · 发表于 2023-6-17 15:29:49

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151321 · 发表于 2023-6-17 16:11:09

黄金分割比@LDKY

Φ

黄金比例是一个很奇妙的数字，通常用希腊字母Φ来表示。
在线段AB上取一点H，AH＞BH，AH／AB＝BH／AH，设AB＝1，AH＝x，可得x／1=1-x／x，解得x1＝（根号5-1）/2，x2＝（-根号5-1）/2（舍），其中x1≈0.618，被称为黄金数。

古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黄金分割的方法。现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。
而系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得的几何原本。
第2卷几何与代数第十一个命题中详细讲了计算方法，有趣的是，我在导言部分看到了这一卷的介绍，“主要讨论的是毕达哥拉斯学派的几何代数学”。

在第四卷圆与正多边形中的作图就运用了黄金分割。
命题Ⅳ，10“可以作一个等腰三角形，两个底角皆等于顶角的两倍”，其实就是黄金三角形。
这一命题的目的是作一个“36—72—36”的等腰三角形ABD，实际上是在给定的AB上作出，当AB被C点切割时，第三边等于AB的较大的部分，因此AB·BC=AC平方这一切割在命题Ⅱ，11中已证明。这一命题被运用在下一命题中，作圆的内接正五边形。

这一比例在《几何原本》中被称为中末比，意大利数学家卢卡·帕乔利将其推广，并称之为“神圣比例”，开普勒将其称为比例分割，堪称珠玉。最早使用黄金分割这一名称的是德国数学家奥姆。
由于黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
建筑师们对数字特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹。
值得一提的是，经常有人说达·芬奇在画作中用到了黄金比例，最著名的例子是画作《维特鲁威人》，但这些比例其实与黄金比例并不相符，没有直接证据证明达·芬奇真的用到了这一比例，他只是在作品中提到了整数比。

黄金分割真正神奇和美妙的地方在于它广泛存在于自然结构中，这里就不得不提到一位意大利人——斐波那契。
他在研究兔子如何繁殖时首次发现了自然界中的Φ。在此之前，关于兔子繁殖最常见的假设是，每对兔子每个月都会生出两只兔子。从一对兔子开始，种群将遵循1、2、4、8、16、32、64、128、256……的规律增长。换句话说，兔子每个月会以2的增长比率不断繁殖。
然而斐波纳契却观察到，兔子在第一个周期达到性成熟，之后才开始繁殖。也就是说，一对兔子实际上是以1、1、2、3、5、8、13、21、34……这种更缓慢的进展进行繁殖的。这便是著名的斐波那契数列，数列中的每个数都等于它前两个数之和，增长比例会越来越接近1.618。因此这个数列也被称为兔子数列。
即使真实世界的兔子不大可能精确遵循这一规则，但这一数列在自然界中广泛存在，比如松果、向日葵和叶子排列的方式。

这一比例在现实中运用广泛，这里就不展开了。

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