【原创】三个有趣的数

160591 · 发表于 2022-3-26 18:42:40

分享一个我上高中时得出的式子:

(cos40°)³+(cos80°)³+(cos160°)³=(cos40°)^15+(cos80°)^15+(cos160°)^15=-3/8

提示:
cos40°,cos80°,cos160°是一元三次方程8x³-6x+1=0的三个解。

160591 · 发表于 2022-5-16 17:50:33

答案公布:
设三个数分别是a、b、c，由三个数满足方程8x³-6x+1=0可得:
a³=(6a-1)/8
b³=(6b-1)/8
c³=(6c-1)/8
三次方程8x³-6x+1=0有三个根，恰好是a、b、c，则由根与系数的关系可得:
a+b+c=0
所以有:
a³+b³+c³
=(6a-1)/8+(6b-1)/8+(6c-1)/8
=(a+b+c)×6/8-1/8-1/8-1/8
=-3/8
至于十五次方之和同样可以用这样降次的方法算出来，有耐心的同学可以试试看。

173849 · 发表于 2022-4-5 17:17:39

感谢分享
一眼看去，眼花缭乱的

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